【bzoj2005】[Noi2010]能量采集

2015.04.14 16:08 Tue | 19次阅读 | 旧日oi | 固定链接 | 源码

x## Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36【样例输出2】
20【数据规模和约定】
对于10%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10;
对于50%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100;
对于80%的数据:1 ≤ n, m ≤ 1000;
对于90%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10,000;
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

题解

回头再看这道题,,不就是莫比乌斯反演嘛……而我以前还用了一种别的做法,其实思想差不多
从大到小枚举k,满足k|gcd(x,y)的(x,y)有(n/k)(m/k)个,设其为f[k],而恰好满足gcd(x,y)=k的则有f[k]-f[2k]-f[3k]-....f[min(n,m)/k],于是递推即可
时间复杂度o(nlnn)
莫比乌斯反演:f(d)=sigma(mu(d)
(n/d)*(m/d),n/d,m/d最多有2倍根号(n+m)个取值,所以处理处莫比乌斯函数前缀和分块计算即可
莫比乌斯版

我的程序

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define maxn 100005
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll mu[maxn],prime[maxn],cnt;
bool vis[maxn];
void quick_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll get_ans(int x,int y,int k)
{
    ll ret=0;
    x/=k;y/=k;
    for(int last,i=1;i<=x&&i<=y;i=last+1)
    {
        last=min(x/(x/i),y/(y/i));
        ret+=(ll)(mu[last]-mu[i-1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return ret*(2*k-1);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    quick_mu(max(n,m));
    ll ans=0;
    for(int k=min(n,m);k;k--)
    ans+=get_ans(n,m,k);
    cout<<ans<<endl;
}
递推版
#include <cstdio>  
#include<iostream>
#include <algorithm>  
#define ll long long
using namespace std;   
ll f[100001]; 
ll n,m; 
ll ans;
int main()  
{  
    cin>>n>>m;  
    ll t=min(n,m);  
    for(int i=t;i>0;i--)
    {  
        f[i]=(n/i)*(m/i);  
        for(int j=2*i;j<=max(n,m);j+=i)  
        f[i]-=f[j];  
        ans+=f[i]*(2*(i-1)+1);  
    }  
    cout<<ans<<endl; 
    return 0;  
}```